Desigualdades y valor absoluto

Propiedad clave del valor absoluto (p > 0)

• |a| ≤ p ⇔ −p ≤ a ≤ p — una condición doble (intersección).
• |a| ≥ p ⇔ a ≥ p ∨ a ≤ −p — dos condiciones separadas por "o" (unión).
• Válido igual cambiando ≤ por < y ≥ por >.

Otras propiedades útiles

• |a|² = a² — permite quitar valores absolutos elevando al cuadrado.
• −|a| ≤ a ≤ |a|
• Desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|
• Si a² ≤ b², entonces |a| ≤ |b|

Reglas de manipulación

• Al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo, se invierte el sentido.
• Con varios valores absolutos, divide la recta real en tramos según los puntos donde cada expresión interior cambia de signo, y resuelve por casos.
• Une las soluciones con "∨" (unión ∪) y las combina con "∧" (intersección ∩) según la estructura de la desigualdad.